4.1 导数

若 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle x_0}$ 的某邻域内有定义, 在 ${\displaystyle x_0}$ 处取自变量变化量 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }x}$, 记对应的因变量变化量

则若 ${\displaystyle \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}$ 存在, 称 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle x_0}$ 处可导, 称此极限为 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle x_0}$ 处的导数, 记为 ${\displaystyle f^{\prime }(x_0)}$, 即

• 称 ${\displaystyle f_{-}^{\prime }(x_0)\cong \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{-}}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}}$ 为 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle x_0}$ 处的左导数.
• 称 ${\displaystyle f_{+}^{\prime }(x_0)\cong \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{+}}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}}$ 为 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle x_0}$ 处的右导数.

由定义立即得到: ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle x_0}$ 处可导 ${\displaystyle \iff f(x)}$ 在 ${\displaystyle x_0}$ 处既左可导又右可导, 且左右导数值相等.

若 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle (a,b)}$ 内每一点处可导, 则记 ${\displaystyle f(x)\in D(a,b)}$;
若 ${\displaystyle f(x)\in D(a,b)}$, 且在 ${\displaystyle a}$ 处右可导, 在 ${\displaystyle b}$ 处左可导, 则记 ${\displaystyle f(x)\in D[a,b]}$.

若 ${\displaystyle f(x)}$ 在区间 ${\displaystyle I}$ 上可导, 定义映射 ${\displaystyle f^{\prime }:I\to \mathbb{R},x\mapsto f^{\prime }(x)}$, 则称 ${\displaystyle f^{\prime }(x)}$ 是 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle I}$ 上的导函数, 即

${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle x_0}$ 处可导, 则 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle x_0}$ 处连续.